La serie televisiva The Big Bang Theory (Figura 1) narra le avventure di cinque amici molto particolari: Sheldon Cooper, fisico; Leonard Hofstadter, fisico; Howard Wolowitz, ingegnere aerospaziale; Raj Koothrappali, astrofisico; Penny, cameriera aspirante attrice.

Nell’episodio numero 73 della serie (teniamo a mente questo numero) si assiste alla seguente conversazione:

Sheldon: Qual è il numero più bello? Badate, c’è una sola risposta corretta…

Raj: 5.018.308 ?

Sheldon: Sbagliato. Il numero più bello è 73. Probabilmente vi starete chiedendo perché…

Leonard: No.

Howard: Uh-uh.

Raj: Stiamo bene così.

Sheldon: 73 è il 21° numero primo. Il suo numero specchio, 37 è il 12° numero primo, e 12 è il numero specchio di 21. E 21 è il prodotto di, tenetevi forte, 7 e 3, le cifre che formano 73 e 37. Eh? Allora? Stavo mentendo?

Leonard: Capito. 73 è il Chuck Norris dei numeri.

Sheldon: Seee… gli piacerebbe... Espresso come numero binario, 73 è palindromo: 1001001 che letto al contrario è 1001001, esattamente lo stesso ! Invece Chuck Norris letto al contrario è Sirron Kcuhc.

Tanti sono i concetti contenuti in questo breve scambio di battute:

- Cominciamo proprio dai numeri primi. Un numero naturale (cioè senza il punto decimale, o la virgola come stranamente si usa in Italia) si dice primo se è divisibile solo per se stesso e, ovviamente, per l’unitá. ‘Ovviamente’ perché tutti i numeri naturali sono divisibili per il numero 1.
Partendo da 1, i primi numeri primi, scusate il gioco di parole, sono quindi 1, 2, 3, 5, 7, 11, … ma non ad esempio 9 che, oltre ad essere divisibile per se stesso e per l’unità, è anche divisibile per 3.
È curioso osservare che 2 è l’unico numero primo pari, poiché qualunque altro numero pari oltre ad essere divisibile per se stesso e per 1, è quanto meno divisibile anche per 2 (per definizione di numero pari).
I numeri primi hanno suscitato interesse scientifico da tempi immemorabili e su di loro hanno studiato tantissimi “big”, da Eratostene nel 220 a.C. a Mersenne, Fermat, Gauss, Hertz, Riemann e molti altri ancora. Le domande principali a cui si cerca ancora oggi risposta sono:
quanti sono i numeri primi?
qual è il successivo numero primo di un altro?
La matematica che sta dietro ad essi è diventata molto articolata e complessa ed esula dagli intenti di un breve articolo divulgativo come questo. Si pensi ad esempio che oggi alcuni misteri ancora aperti (come ad esempio la cosidetta Congettura di Riemann) hanno un premio di milioni di euro per chi riuscirà a risolverli. Chi ha buona volontà e buona preparazione si faccia sotto!

- Il secondo concetto è quello di “numero specchio” e questo è facile, trattandosi della semplice scrittura inversa delle cifre. Ad esempio il numero specchio di 1234 è 4321.
- Poi Sheldon parla dei numeri binari, quelli composti solo da zero e uno. Noi siamo abituati ad usare i numeri decimali che, si dice in gergo, “hanno base dieci”. Le nostre cifre sono i numeri da 0 a 9: per scrivere 10, che è la base, dobbiamo usare due cifre. Ma esistono infinite basi possibili per rappresentare lo stesso identico numero. Noi ingegneri usiamo comunemente la base 2 e la base 16.
Applichiamo la stessa regola a queste due basi: in base 2 (numeri binari) è dunque vietato scrivere 2, per questo bisogna usare due cifre, e le cifre devono arrivare fino a 2 escluso, quindi sono 0 e 1. Allora ogni numero binario sarà una sfilza di 0 e 1, ad esempio il numero decimale 1729 si scrive in binario 11011000001.
In base 16 (numeri esadecimali) le cifre vanno da 0 a 15, escludendo il 16. Convenzione vuole che le cifre da 10 a 15 siano rappresentate dalle lettere da A ad F. Ad esempio il numero 1729 in esadecimale si scrive 6C1.
Ma è solo un diverso modo di scrivere lo stesso identico numero. Scriverlo in una base o in un’altra è una mera questione di convenienza: 1729 decimale = 11011000001 binario = 6C1 esadecimale.

- Infine Sheldon usa il concetto di numero palindromo. Questo termine deriva dal Greco πάλιν e δρóμος (che si leggono ‘pálin’ e ‘drómos’) che significano “nuovamente” e “percorso”, ovvero che può essere percorso avanti e indietro. Difatti si definisce palindromo un numero che letto da sinistra a destra è identico al numero letto da destra a sinistra. Ad esempio i numeri 7997 e 13831 sono palindromi mentre 7990 e 13832 non lo sono. Ciò vale anche per le parole o per altre sequenze di simboli, ad esempio la targa di un’auto GW-717-WG è palindroma, mentre quella GW-717-WE non lo é.

Dopo l’episodio televisivo, i matematici si sono sbizzarriti a cercare di provare quando emerso. Hanno cominciato, come sempre, con un paio di definizioni, chiamando “numero di Sheldon” qualunque numero che soddisfi le proprietà elencate e “congettura di Sheldon” l’affermazione secondo cui 73 è l’unico numero con quelle proprietà.

Rivediamo le proprietà che un numero deve possedere per essere legittimamente annoverato fra i “numeri di Sheldon”:

1. deve essere un numero primo

2. il suo numero specchio deve anch’esso essere un numero primo

3. la sua posizione nell’elenco dei numeri primi deve avere come numero specchio la posizione del proprio numero specchio

4. la sua posizione nell’elenco dei numeri primi deve essere il prodotto delle cifre che lo compongono

5. la codifica binaria del numero deve essere palindroma, cioè identica alla sua versione specchiata.

Che le condizioni siano molto stringenti è cosa evidente. Ma da qui a dimostrare la congettura di Sheldon, la strada è (ed è stata) lunga.
Un primo lavoro pubblicato al riguardo (1) dimostra che se esiste almeno un altro numero di Sheldon oltre al numero 73, questo deve essere veramente molto grande. Con “molto grande” si intende che di sicuro non appartiene al primo miliardo di numeri primi !
Sulla base del metodo utilizzato in (1), qualche anno dopo la congettura fu dimostrata (2). La dimostrazione è piuttosto complessa (Figura 2) e parte dalla formalizzazione di una “proprietà prodotto” e di una “proprietà specchio” per l’n-esimo numero primo pn. Procede scartando sistematicamente grandi insiemi di possibili candidati, fin tanto che rimane solo il numero 73.
Dunque 73 è l’unico numero di Sheldon. Che sia il numero più bello del mondo è una questione estetica, ognuno di noi può avere un diverso parere o un diverso numero preferito, ma di sicuro è un numero dalle proprietà davvero speciali.

Figura 2: la matematica coinvolta nella dimostrazione della Congettura di Sheldon è non banale. Sebbene si basi sullo scartare via via tutti i possibili candidati diversi da 73, in certi intervalli di numeri occorre scomodare concetti matematici piuttosto avanzati.

Marco Sartore

Nell'immagine di copertina Leonard, Sheldon, Raj e Howard. Sheldon dichiara che 73 è l’unico numero con le proprietà che elenca agli amici. 

(1): The Sheldon conjecture, essie Byrnes, Chris Spicer and Alyssa Turnquis, Math Horizons, Vol. 23, No. 2 (November 2015), pp. 12-15

(2): Proof of the Sheldon Conjecture, Carl Pomerance and Chris Spicer, American Mathematics Monthly, Mathematical Assoc. of America, (2019)121:1.